1.1 Relaciones.

Si resulta una trato, usaremos la notacion , que se lee “ esta relacionado por con “, o sencillamente “ esta relacionado con “, outpersonals Con El Fin De indicar el hecho de que . Si diremos que “ nunca esta relacionado por con ” desplazandolo hacia el pelo usaremos la notacion . Tambien, el comun se dira grupo de partida, y no ha transpirado combinado de advenimiento (o trayecto) de .

Sea una trato. Definimos su dominio por , y su fama por . El total puede llamarse dibujo de la relacion y no ha transpirado se anota . Seri­a directo que , pero en general no seri­a cierta la igualdad como conjuntos.

Toda mision induce an una comunicacion. En caso de que resulta una funcion, la comunicacion asociada es , a donde el conjunto de pares ordenados esta dado por

Claramente se cumple que , e

Igualdad sobre relaciones sobre la definicion sobre trato como la terna, seri­a directo que dos relaciones y son iguales ssi . A su ocasion, seri­a tambien Cristalino que si , entonces De aqui que se cumple

1.2 Relaciones donde .

Ejemplo fundamental

Estudiemos las 4 propiedades anteriores para la relacion en tal que

en donde seri­a un natural fijo. Esta comunicacion se llama de congruencia modulo desplazandolo hacia el pelo si decimos que “ seri­a congruente con modulo “, o que “ es igual a modulo “. Son usuales las notaciones (mod ) o . Simetria Sean tales que . Tenemos que probar que . Conocemos que . Sea tal que . Despejando se tiene que , Es decir hemos visto un impasible semejante que lo que prueba que . Refleja Sea . Hemos probar que . Es decir existe que dar con tal que . Basta encaminarse , con lo que desplazandolo hacia el pelo se concluye que . Transitividad Sean tales que . Hay que tratar que . Se goza de para un cierto , desplazandolo hacia el pelo Con El Fin De un cierto . Luego, despejando, se obtiene . Hemos encontrado un sereno tal que , luego . Antisimetria nunca lo seri­a si ya que, como podri­a ser En Caso De Que , se tiene que desplazandolo hacia el pelo ademas aunque . En caso de que , la comunicacion seri­a la igualdad en , debido a que no es sorprendente que sea Asimismo antisimetrica. Asimismo esta trato cumple las subsiguientes prestaciones (a) . (b) . En fin, la hipotesis obliga que , de algunos . (a) Sumando estas ecuaciones, obtenemos , sobre a donde sale que . (b) Multiplicando las mismas ecuaciones, obtenemos , sobre donde sale que .

Exponente La contacto sobre divisibilidad en es un equilibrio parcial y no ha transpirado la contacto es un orden total.

1.3 Relaciones de equivalencia.

Recordemos que la comunicacion en seri­a sobre equivalencia ssi seri­a refleja, simetrica y transitiva.

Ej Considere la conexion sobre congruencia modulo 2 en ( ). En esta conexion seri­a el combinado sobre las pares, es el comun de las enteros impares, son los impares, . En este modelo existen solo 2 tipos sobre equivalencia diversas asi­ como . Observemos que . Tambien . Caracteri­sticas

Las 2 propiedades anteriores permiten fijar una particion sobre .

Esto seri­a, la casa sobre subconjuntos sobre , 2 a 2 disjuntos, cuya union es . Sobre forma mas precisa, hay un total de subconjuntos nunca vacios sobre , (que sera la particion de ), tal que si por lo tanto (2 a dos disjuntos) asi­ como

Esta ultima vinculacion se entiende igual que sigue

La particion que nos interesa crear es la formada por las tipos de equivalencia de , en otras palabras,

Este total se llama comun cociente sobre , desplazandolo hacia el pelo se suele anotar Asimismo como .

Exponente relevante

Con el fin de , encontrar el conjunto cociente sobre por la conexion sobre equivalencia , que denotamos por (las “enteros modulo p”). Denotamos a la tipo sobre equivalencia de como . Echemos un vistado a principal un par de casos triviales

En caso de que , conocemos que seri­a la igualdad en , y no ha transpirado entonces para cada . Despues . Si , por lo tanto es directo que , por lo que Tenemos una sola clase de equivalencia Con El Fin De todo el mundo las enteros , asi­ como (un grupo con un separado elemento).

Actualmente supondremos que . Esta seri­a la restriccion que comunmente se impone cuando se utilizan las congruencias modulo en la practica. Haremos manejo sobre la division de numeros enteros, que se puede enunciar como sigue Si asi­ como , entonces hay una sola pareja de enteros , llamados respectivamente cociente asi­ como resto sobre la division de por , tales que , asi­ como Igualmente .

Si es un inalterable cualquier, dividiendolo por obtenemos , con . Sin embargo esta ecuacion dice que , es decir, que . De aqui que las clases de equivalencia Con El Fin De son solo . Tambien estas tipos son distintas dentro de si, Ya que si , para , entonces . No obstante como Ademi?s , por lo tanto la unicidad de la division de por dedicacion .

Concluimos entonces que , desplazandolo hacia el pelo goza de exactamente puntos.

Estructuras Algebraicas

1.4 Leyes sobre composicion interna

Con el fin de simplificar la notacion, En muchas ocasiones se eliminan inclusive los parentesis de la notacion sobre clases de equivalencia en , escribiendo . Puede Ademi?s denotarse el + sobre igual que y el de igual que . Con estas convenciones, el ejemplo 1 seri­a simplemente la suma y el producto en , y el prototipo 2 corresponde a la suma en .

1.5 prestaciones basicas de estas l.c.i

Pertenencia El neutro, cuando existe, es unico (y poseemos entonces derecho a hablar sobre el neutro).

En proposito, supongamos que Hay neutros y no ha transpirado . Seguidamente .

Asociatividad Decimos que la l.c.i. en seri­a asociativa ssi

Puntos inversos Si existe neutral , decimos que goza de a como inverso, o que seri­a un inverso de ssi

En general, un inverso Con El Fin De no seri­a unico. Cuando sea unico lo denotaremos . La exigencia sobre unicidad seri­a la sub siguiente,

Pertenencia Si tiene neutral desplazandolo hacia el pelo es asociativa por lo tanto los inversos son unicos.

En proposito, sean tales que asi­ como . Posteriormente operando por Durante la reciente igualdad por la izquierda se obtiene . Como la normativa seri­a asociativa entonces , de lo que deducimos que .

Conmutatividad Decimos que la l.c.i. en seri­a conmutativa ssi

Supongamos que es una configuracion algebraica asociativa y con neutro